We leven in een tijdperk waarin gigantische hoeveelheden data gebruikt worden om zogenaamde artificiële neurale netwerken te trainen. Op die manier probeert men intelligente machines te maken van computers en alledaagse apparaten. Dit proces vergt echter massa's berekeningen, en daarom zijn wetenschappers constant op zoek naar methoden om enerzijds de rekenkracht van die computers op te drijven, en ze anderzijds alsmaar compacter te maken. Het zal niemand verbazen dat die zoektocht zeer technisch en theoretisch is, maar het aantal toepassingen ervan is niet te overzien.

Zo lag een slimme telefoon onlangs aan de basis van een fantastisch stukje televisie, toen de makers van het Canvas-programma Team Scheire erin slaagden om een blinde vrouw terug zelfstandig foto's te laten nemen.

Wiskunde bewijst dat ons brein geen computer is.

Maar in al dat enthousiasme zou men bijna vergeten dat we allemaal beschikken over het model waarop dat onderzoek gebaseerd is: het menselijk brein. Een brein dat weliswaar hopeloos achterophinkt wanneer het aankomt op het aantal berekeningen dat per seconde uitgevoerd kan worden, maar dat nog steeds de kroon spant als creatieve motor en abstracte denker. En geen enkele discipline die dat beter illustreert dan de wiskunde - die mentale constructie waarvoor men nog steeds elke dag stellingen bouwt. Computers maken uiteraard deel uit van het arsenaal van de wiskundige - al was het maar omdat ook zij graag experimenteren, zij het dan met modellen en simulaties - maar als puntje bij paaltje komt is er aan het einde van de hobbelige rit nood aan een artisanaal bewijs. Eentje met pen en papier.

Nochtans is het slechts een kleine eeuw geleden dat wiskundigen probeerden om ook net dat wiskundige redeneren te automatiseren. Van computers zoals we die nu kennen was nog geen sprake, maar het onderzoeksprogramma dat de Duitse wiskundige David Hilbert in 1920 wou opstarten kan wel in die termen geformuleerd worden: hij was op zoek naar een stukje software waarmee men het uitvinden van wiskunde kon reduceren tot het zetten van verse koffie, en het oogsten van nieuwe stellingen in het printerlokaal. Zijn beweegreden klinkt vermoedelijk vertrouwd in de oren van iedereen die de puberteit doorkwam: een uit de kluiten gewassen identiteitscrisis.

Rammelen aan de fundamenten van de wiskunde

Aan het einde van de 19de eeuw werd er immers duchtig gerammeld aan de fundamenten van het wiskundige bouwwerk. Georg Cantor, nog zo'n Duits genie, voerde namelijk eigenhandig de verzamelingenleer in, maar de reacties van zijn collega's waren op zijn zachtst uitgedrukt aan de lauwe kant. Zijn paper uit 1874 (Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen) mag dan wel een van de meest invloedrijke zijn in de geschiedenis van de wiskunde, het zaaide destijds voornamelijk vertwijfeling en paniek. Ten eerste had men het moeilijk om zijn bewijs te aanvaarden dat er meer dan één soort 'oneindig' blijkt te bestaan - een bewering die overigens ook door mijn studenten ieder jaar opnieuw wordt onthaald op ongeloof.

Ten tweede bleek de verzamelingenleer aanleiding te geven tot paradoxen, de ultieme nachtmerrie van een wiskundige (op een kapotte koffiezet na dan). Russells oorspronkelijke formulering stond in wiskundige symbolen uitgedrukt, maar de bewuste paradox die later naar hem werd genoemd kan als volgt geformuleerd worden: als we een barbier definiëren als iemand die enkel mensen scheert die zichzelf niet scheren, scheert die barbier zichzelf dan?

Het is in die uiterst boeiende periode van de wetenschapsgeschiedenis dat men Hilberts pogingen moet situeren om de wiskundige fundamenten 'voor eens en voor altijd' vast te leggen. De kleine lettertjes van zijn programma zullen we - als ware het de 'terms and conditions' van iTunes - achterwege laten. De grote lijnen van Hilberts droom kunnen echter als volgt samengevat worden: hij was op zoek naar de ultieme verzameling spelregels (axioma's en deductieregels), van waaruit wiskundige resultaten konden worden afgeleid. Die regels moesten dan wel aan een aantal eisen voldoen. Ondermeer de garantie dat álle correcte uitspraken konden gegenereerd worden (de compleetheid), en dat er geen énkele incorrecte uitspraak zou verschijnen (de consistentie). Die 'garantie' moest bovendien een sluitend wiskundig bewijs zijn, óver de wiskunde. Hilbert katapulteerde de 20ste eeuw dus naar het rijk van de metawiskunde.

De ultieme doorbraak kwam er in 1931, toen de Oostenrijker Kurt Gödel zijn grote 'incompleetheidsstellingen' publiceerde. Eerder twee teleurstellingen voor Hilbert, want Gödel toonde in essentie aan dat zelfs vrij eenvoudige consistente systemen nooit compleet kunnen zijn. Neem nu bijvoorbeeld de getaltheorie, de tak van de wiskunde die zich bezighoudt met de gehele getallen, het prinsdom waar de priemgetallen een prominente rol spelen. Gödel toonde namelijk het volgende aan: men kan een wiskundige uitspraak doen over getallen die zeker waar is, maar die men niet kan bewijzen. Niet omdat wiskundigen nog niet beschikken over de juiste technieken, maar omdat Gödel onomstootbaar bewees dat ze niet te bewijzen is. Hij gebruikte daarvoor een niet minder dan geniale truc om de onschuldige zin 'deze formule kan niet bewezen worden' om te zetten in wiskundige symbolen, zeg maar in een formule.

Die formule kán dan niet anders dan correct zijn: mocht ze vals zijn, dan zegt ze over zichzelf dat ze wél kan bewezen worden. In dat geval zou de theorie dus een bewijs bevatten voor een valse uitspraak, iets wat wiskundigen uiteraard te allen prijze willen vermijden (consistentie). Tegelijkertijd kán deze ware uitspraak nooit bewezen worden (incompleetheid): mocht er een bewijs bestaan, dan spreekt de formule zichzelf tegen en wordt ze dus opnieuw vals - iets wat we net wilden vermijden.

In de decennia die volgden op Gödels fatale mokerslag krabbelde de wiskunde langzaamaan terug overeind. Logici experimenteerden met allerlei exotische axiomasystemen en de grenzen met de filosofie werden steeds vaker opgezocht. Dat alles resulteerde in de gevorderde wiskundige logica zoals we die vandaag kennen. "Wat ik vooral onthouden heb, is dat Gödel aantoonde dat we met onze hersenen de grenzen van ons eigen redeneervermogen kunnen beredeneren. Benieuwd of de Lof der Rede ooit zotter wordt dan dat... "

Professor David Eelbode is docent wiskunde aan de faculteit Wetenschappen van de Universiteit Antwerpen.

We leven in een tijdperk waarin gigantische hoeveelheden data gebruikt worden om zogenaamde artificiële neurale netwerken te trainen. Op die manier probeert men intelligente machines te maken van computers en alledaagse apparaten. Dit proces vergt echter massa's berekeningen, en daarom zijn wetenschappers constant op zoek naar methoden om enerzijds de rekenkracht van die computers op te drijven, en ze anderzijds alsmaar compacter te maken. Het zal niemand verbazen dat die zoektocht zeer technisch en theoretisch is, maar het aantal toepassingen ervan is niet te overzien. Zo lag een slimme telefoon onlangs aan de basis van een fantastisch stukje televisie, toen de makers van het Canvas-programma Team Scheire erin slaagden om een blinde vrouw terug zelfstandig foto's te laten nemen. Maar in al dat enthousiasme zou men bijna vergeten dat we allemaal beschikken over het model waarop dat onderzoek gebaseerd is: het menselijk brein. Een brein dat weliswaar hopeloos achterophinkt wanneer het aankomt op het aantal berekeningen dat per seconde uitgevoerd kan worden, maar dat nog steeds de kroon spant als creatieve motor en abstracte denker. En geen enkele discipline die dat beter illustreert dan de wiskunde - die mentale constructie waarvoor men nog steeds elke dag stellingen bouwt. Computers maken uiteraard deel uit van het arsenaal van de wiskundige - al was het maar omdat ook zij graag experimenteren, zij het dan met modellen en simulaties - maar als puntje bij paaltje komt is er aan het einde van de hobbelige rit nood aan een artisanaal bewijs. Eentje met pen en papier.Nochtans is het slechts een kleine eeuw geleden dat wiskundigen probeerden om ook net dat wiskundige redeneren te automatiseren. Van computers zoals we die nu kennen was nog geen sprake, maar het onderzoeksprogramma dat de Duitse wiskundige David Hilbert in 1920 wou opstarten kan wel in die termen geformuleerd worden: hij was op zoek naar een stukje software waarmee men het uitvinden van wiskunde kon reduceren tot het zetten van verse koffie, en het oogsten van nieuwe stellingen in het printerlokaal. Zijn beweegreden klinkt vermoedelijk vertrouwd in de oren van iedereen die de puberteit doorkwam: een uit de kluiten gewassen identiteitscrisis. Aan het einde van de 19de eeuw werd er immers duchtig gerammeld aan de fundamenten van het wiskundige bouwwerk. Georg Cantor, nog zo'n Duits genie, voerde namelijk eigenhandig de verzamelingenleer in, maar de reacties van zijn collega's waren op zijn zachtst uitgedrukt aan de lauwe kant. Zijn paper uit 1874 (Über eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen) mag dan wel een van de meest invloedrijke zijn in de geschiedenis van de wiskunde, het zaaide destijds voornamelijk vertwijfeling en paniek. Ten eerste had men het moeilijk om zijn bewijs te aanvaarden dat er meer dan één soort 'oneindig' blijkt te bestaan - een bewering die overigens ook door mijn studenten ieder jaar opnieuw wordt onthaald op ongeloof. Ten tweede bleek de verzamelingenleer aanleiding te geven tot paradoxen, de ultieme nachtmerrie van een wiskundige (op een kapotte koffiezet na dan). Russells oorspronkelijke formulering stond in wiskundige symbolen uitgedrukt, maar de bewuste paradox die later naar hem werd genoemd kan als volgt geformuleerd worden: als we een barbier definiëren als iemand die enkel mensen scheert die zichzelf niet scheren, scheert die barbier zichzelf dan? Het is in die uiterst boeiende periode van de wetenschapsgeschiedenis dat men Hilberts pogingen moet situeren om de wiskundige fundamenten 'voor eens en voor altijd' vast te leggen. De kleine lettertjes van zijn programma zullen we - als ware het de 'terms and conditions' van iTunes - achterwege laten. De grote lijnen van Hilberts droom kunnen echter als volgt samengevat worden: hij was op zoek naar de ultieme verzameling spelregels (axioma's en deductieregels), van waaruit wiskundige resultaten konden worden afgeleid. Die regels moesten dan wel aan een aantal eisen voldoen. Ondermeer de garantie dat álle correcte uitspraken konden gegenereerd worden (de compleetheid), en dat er geen énkele incorrecte uitspraak zou verschijnen (de consistentie). Die 'garantie' moest bovendien een sluitend wiskundig bewijs zijn, óver de wiskunde. Hilbert katapulteerde de 20ste eeuw dus naar het rijk van de metawiskunde. De ultieme doorbraak kwam er in 1931, toen de Oostenrijker Kurt Gödel zijn grote 'incompleetheidsstellingen' publiceerde. Eerder twee teleurstellingen voor Hilbert, want Gödel toonde in essentie aan dat zelfs vrij eenvoudige consistente systemen nooit compleet kunnen zijn. Neem nu bijvoorbeeld de getaltheorie, de tak van de wiskunde die zich bezighoudt met de gehele getallen, het prinsdom waar de priemgetallen een prominente rol spelen. Gödel toonde namelijk het volgende aan: men kan een wiskundige uitspraak doen over getallen die zeker waar is, maar die men niet kan bewijzen. Niet omdat wiskundigen nog niet beschikken over de juiste technieken, maar omdat Gödel onomstootbaar bewees dat ze niet te bewijzen is. Hij gebruikte daarvoor een niet minder dan geniale truc om de onschuldige zin 'deze formule kan niet bewezen worden' om te zetten in wiskundige symbolen, zeg maar in een formule. Die formule kán dan niet anders dan correct zijn: mocht ze vals zijn, dan zegt ze over zichzelf dat ze wél kan bewezen worden. In dat geval zou de theorie dus een bewijs bevatten voor een valse uitspraak, iets wat wiskundigen uiteraard te allen prijze willen vermijden (consistentie). Tegelijkertijd kán deze ware uitspraak nooit bewezen worden (incompleetheid): mocht er een bewijs bestaan, dan spreekt de formule zichzelf tegen en wordt ze dus opnieuw vals - iets wat we net wilden vermijden. In de decennia die volgden op Gödels fatale mokerslag krabbelde de wiskunde langzaamaan terug overeind. Logici experimenteerden met allerlei exotische axiomasystemen en de grenzen met de filosofie werden steeds vaker opgezocht. Dat alles resulteerde in de gevorderde wiskundige logica zoals we die vandaag kennen. "Wat ik vooral onthouden heb, is dat Gödel aantoonde dat we met onze hersenen de grenzen van ons eigen redeneervermogen kunnen beredeneren. Benieuwd of de Lof der Rede ooit zotter wordt dan dat... "Professor David Eelbode is docent wiskunde aan de faculteit Wetenschappen van de Universiteit Antwerpen.