In onze lezing voor de Universiteit van Vlaanderen buigen we ons over de vraag 'Waarom krijg je niet altijd wat je wil?'. Of het nu over de verdeling van vrije schoolplaatsen gaat bij een nieuwe generatie leerlingen, over het zoeken van de juiste partner of over de mogelijke cijfers in een Sudoku-vakje, het lijkt wel alsof er steeds weer nieuwe frustrerende hindernissen moeten genomen worden. Maar in onze hoedanigheid als wiskundigen herleiden we al deze en vele andere toekenningsproblemen tot één banaal telprincipe. Handig, niet? Nochtans staat het vak wiskunde reeds enige tijd in de beklaagdenbank.

De argumenten ten laste -die we hieronder oplijsten- zijn zo mainstream dat ze nog nauwelijks in vraag gesteld worden. Vandaar dit opiniestukje, een pleidooi voor de kunst van het denken.

Wiskunde is te abstract en staat eigenlijk te ver van het echte leven

Wiskunde verwijten dat ze te abstract is, is een bal verwijten dat hij te rond is. Abstractie is nu eenmaal de bedoeling van wiskunde. Je zou wiskunde als de studie van patronen kunnen definiëren, het gaat dus eigenlijk om een uitvergroting van hoe wij denken. Inderdaad, onze hersenen kunnen de overdosis aan impulsen en percepties enkel verwerken door objecten en begrippen te segmenteren (van elkaar te onderscheiden) en anderzijds te groeperen (overeenkomsten te herkennen). Wiskunde zoekt eigenschappen van deze patronen en doet er uitspraken over zonder zich te laten afleiden door de particuliere context.

Wiskunde verwijten dat ze te abstract is, is een bal verwijten dat hij te rond is.

Vanuit dit standpunt gaat wiskunde dus inderdaad over niets, niet rechtstreeks over de concrete dingen in het leven, maar anderzijds tegelijkertijd over oneindig veel dingen die binnen een bepaald patroon vallen. Wiskunde is een extreem duurzame wetenschap, omdat ieder resultaat naar hartenlust kan gerecycleerd worden. Wiskunde probeert de kern van een werkelijk probleem te grijpen en een elegante, objectieve oplossing te bieden die niet vervuild is door irrelevante specifieke details. Natuurlijk zal de wiskundige formulering het vraagstuk uit het echte leven idealiseren, maar hierbij worden de pijnpunten, de obstakels en de mogelijke oplossingen wel vaak blootgelegd.

Het belang van wiskunde in het onderwijs staat niet in verhouding met het nut van het vak

Het is duidelijk dat het schoolvak wiskunde een grote rol speelt in het proces van het leren denken. Niet enkel wiskunde natuurlijk, bij het leren van een taal bijvoorbeeld leer je ook denken. Maar er is in het taalonderwijs de laatste decennia zoveel veranderd, dat de invloed op het leren denken kleiner is geworden. Grammatica levert de nodige structuur in de taal die nodig is om een logische redenering op te bouwen, maar juist het aspect grammatica heeft de laatste jaren in het onderwijs sterk aan belang ingeboet.

Dus ja, het zou discriminerend zijn om niet alle leerlingen in alle richtingen te trainen in de kunst van het denken, om iemand buiten spel te zetten in de huidige snel evoluerende maatschappij. Al was het maar omdat het venster op onze wereld de computer is, en daar is denken van fundamenteel belang. Bij het lezen van e-mails is het nuttig om na te denken, maar ook als we Google gebruiken om iets op te zoeken helpt het om te weten welke zoekwoorden we best combineren om zo snel mogelijk de relevante informatie te vinden. We moeten nog altijd denken.

Anderzijds wordt wiskunde te veel gebruikt om de intellectuele mogelijkheden van jongeren te meten. Een hoge wiskundescore halen wordt geïdentificeerd met slim zijn, of zelfs met in staat zijn een hogere studie aan te vatten. Het misbruik van wiskunde als een meedogenloze poortwachter verlamt vele leerlingen, ze schieten in een kramp bij het maken van een wiskundeoefening en durven niet vrijuit te denken uit angst om fouten te maken en als loser bestempeld te worden. Zodra wiskunde niet meer als een verplichte opgave maar als een grote verzameling puzzels beschouwd wordt, zal de studie van het vak niet meer gestuurd worden door faalangst en frustraties, maar eerder door nieuwsgierigheid en puzzelplezier.

Wiskunde is te moeilijk

Het is zonder twijfel niet gemakkelijk om je los te maken van de context en te redeneren op het niveau van abstracte patronen, en bij de ene lukt dit al wat beter dan bij de andere. Maar ieder van ons heeft het abstract denken in zich, want zo werken onze hersenen nu eenmaal, terwijl anderzijds zelfs een wiskundige ooit wel tegen het plafond van zijn abstractievermogen stoot. Het is bijvoorbeeld niet iedereen gegeven om over bepaalde meetkundige eigenschappen te redeneren die losstaan van de dimensie waarin je werkt.

Probeer maar eens meetkunde te bedrijven zonder de context van een decor met een bepaalde dimensie. Wiskundigen mogen dit niet uit het oog verliezen wanneer ze met anderen communiceren, bijvoorbeeld tijdens het lesgeven. Veel wiskunderesultaten zijn historisch gegroeid in een of meerdere contexten, en zijn pas achteraf in algemene termen geformuleerd.

Dus de kunst van het denken wordt aangeleerd via een abstractieproces van motiverende voorbeelden. Denken komt niet vanzelf. Je moet dat leren, en dat kan al vroeg beginnen. Wie herinnert zich niet de doos uit de kleuterschool met aan de zijkant gaten met verschillende vormen en een aantal blokken van allerlei vormen, waarbij het de bedoeling was om alle blokken in de doos te krijgen? Maar niet elk blok ging door elk gat, dus een eerste vorm van logisch denken werd eigen gemaakt.

Wiskunde is te dogmatisch

Wiskunde poneert geen waarheden als dogma's, maar ontdekt ze binnen een nauwkeurig afgelijnd kader. Dit betekent vooral de eerlijke erkenning dat iedere uitspraak pas geldig is binnen bepaalde afspraken (axioma's) en voorwaarden. Een wiskundige zal een stelling dus nooit als dogma beschouwen, maar zal eerder nieuwsgierig zijn naar het effect van andere afspraken of voorwaarden op deze "waarheid". Hoe dikwijls gebeurt het niet dat twee politici diametraal tegenover elkaar staan in een of andere kwestie, maar dat ze toch allebei gelijk hebben omdat ze elk hun logische redenering opbouwen vanuit verschillende grondbeginselen.

Wiskunde is saai

Hoe hoger het doel, hoe lastiger de weg, maar hoe intenser de voldoening. Over smaken en kleuren gaan we niet discussiëren, maar het geluksgevoel bij het vinden of begrijpen van een kristalheldere redenering of een elegante oplossing is vergelijkbaar met wat we soms ervaren bij literatuur of concerten. Wiskunde wordt bedreven op de dynamische grens tussen de absolute zekerheden en de dingen die we nog niet, en misschien zelfs nooit zullen weten. Ieder succes in dit grensconflict is een nieuwe waarheid die binnen een nauwkeurig afgebakend gebied absoluut en eeuwig is, en die we nooit meer moeten prijsgeven. Neem als voorbeeld de Stelling van Pythagoras: binnen de spelregels van de euclidische meetkunde is deze stelling voor altijd geldig, los van iedere politieke omwenteling, ethische revolutie of experimentele bevinding met een deeltjesversneller.

'Er bestaan nog zekerheden', zegt men wel eens, maar dan wel dankzij de wiskunde.

Paul Levrie en Rudi Penne doceren beiden wiskunde aan de Faculteit Toegepaste Ingenieurswetenschappen van de UAntwerpen. Daarnaast zijn ze intensief bezig met het populariseren van de wiskunde, door het geven van lezingen voor een breed publiek, het organiseren van MathsJams enz. Hun grootste project tot nu toe is het boek De Pracht van Priemgetallen, over de geschiedenis van de priemgetallen, dat verschenen is in 2014 en bedoeld is voor de wiskundig geïnteresseerde leek. Het boek won in 2014 een prijs voor wetenschapscommunicatie.

In onze lezing voor de Universiteit van Vlaanderen buigen we ons over de vraag 'Waarom krijg je niet altijd wat je wil?'. Of het nu over de verdeling van vrije schoolplaatsen gaat bij een nieuwe generatie leerlingen, over het zoeken van de juiste partner of over de mogelijke cijfers in een Sudoku-vakje, het lijkt wel alsof er steeds weer nieuwe frustrerende hindernissen moeten genomen worden. Maar in onze hoedanigheid als wiskundigen herleiden we al deze en vele andere toekenningsproblemen tot één banaal telprincipe. Handig, niet? Nochtans staat het vak wiskunde reeds enige tijd in de beklaagdenbank. De argumenten ten laste -die we hieronder oplijsten- zijn zo mainstream dat ze nog nauwelijks in vraag gesteld worden. Vandaar dit opiniestukje, een pleidooi voor de kunst van het denken.Wiskunde is te abstract en staat eigenlijk te ver van het echte levenWiskunde verwijten dat ze te abstract is, is een bal verwijten dat hij te rond is. Abstractie is nu eenmaal de bedoeling van wiskunde. Je zou wiskunde als de studie van patronen kunnen definiëren, het gaat dus eigenlijk om een uitvergroting van hoe wij denken. Inderdaad, onze hersenen kunnen de overdosis aan impulsen en percepties enkel verwerken door objecten en begrippen te segmenteren (van elkaar te onderscheiden) en anderzijds te groeperen (overeenkomsten te herkennen). Wiskunde zoekt eigenschappen van deze patronen en doet er uitspraken over zonder zich te laten afleiden door de particuliere context. Vanuit dit standpunt gaat wiskunde dus inderdaad over niets, niet rechtstreeks over de concrete dingen in het leven, maar anderzijds tegelijkertijd over oneindig veel dingen die binnen een bepaald patroon vallen. Wiskunde is een extreem duurzame wetenschap, omdat ieder resultaat naar hartenlust kan gerecycleerd worden. Wiskunde probeert de kern van een werkelijk probleem te grijpen en een elegante, objectieve oplossing te bieden die niet vervuild is door irrelevante specifieke details. Natuurlijk zal de wiskundige formulering het vraagstuk uit het echte leven idealiseren, maar hierbij worden de pijnpunten, de obstakels en de mogelijke oplossingen wel vaak blootgelegd.Het is duidelijk dat het schoolvak wiskunde een grote rol speelt in het proces van het leren denken. Niet enkel wiskunde natuurlijk, bij het leren van een taal bijvoorbeeld leer je ook denken. Maar er is in het taalonderwijs de laatste decennia zoveel veranderd, dat de invloed op het leren denken kleiner is geworden. Grammatica levert de nodige structuur in de taal die nodig is om een logische redenering op te bouwen, maar juist het aspect grammatica heeft de laatste jaren in het onderwijs sterk aan belang ingeboet. Dus ja, het zou discriminerend zijn om niet alle leerlingen in alle richtingen te trainen in de kunst van het denken, om iemand buiten spel te zetten in de huidige snel evoluerende maatschappij. Al was het maar omdat het venster op onze wereld de computer is, en daar is denken van fundamenteel belang. Bij het lezen van e-mails is het nuttig om na te denken, maar ook als we Google gebruiken om iets op te zoeken helpt het om te weten welke zoekwoorden we best combineren om zo snel mogelijk de relevante informatie te vinden. We moeten nog altijd denken. Anderzijds wordt wiskunde te veel gebruikt om de intellectuele mogelijkheden van jongeren te meten. Een hoge wiskundescore halen wordt geïdentificeerd met slim zijn, of zelfs met in staat zijn een hogere studie aan te vatten. Het misbruik van wiskunde als een meedogenloze poortwachter verlamt vele leerlingen, ze schieten in een kramp bij het maken van een wiskundeoefening en durven niet vrijuit te denken uit angst om fouten te maken en als loser bestempeld te worden. Zodra wiskunde niet meer als een verplichte opgave maar als een grote verzameling puzzels beschouwd wordt, zal de studie van het vak niet meer gestuurd worden door faalangst en frustraties, maar eerder door nieuwsgierigheid en puzzelplezier. Het is zonder twijfel niet gemakkelijk om je los te maken van de context en te redeneren op het niveau van abstracte patronen, en bij de ene lukt dit al wat beter dan bij de andere. Maar ieder van ons heeft het abstract denken in zich, want zo werken onze hersenen nu eenmaal, terwijl anderzijds zelfs een wiskundige ooit wel tegen het plafond van zijn abstractievermogen stoot. Het is bijvoorbeeld niet iedereen gegeven om over bepaalde meetkundige eigenschappen te redeneren die losstaan van de dimensie waarin je werkt. Probeer maar eens meetkunde te bedrijven zonder de context van een decor met een bepaalde dimensie. Wiskundigen mogen dit niet uit het oog verliezen wanneer ze met anderen communiceren, bijvoorbeeld tijdens het lesgeven. Veel wiskunderesultaten zijn historisch gegroeid in een of meerdere contexten, en zijn pas achteraf in algemene termen geformuleerd. Dus de kunst van het denken wordt aangeleerd via een abstractieproces van motiverende voorbeelden. Denken komt niet vanzelf. Je moet dat leren, en dat kan al vroeg beginnen. Wie herinnert zich niet de doos uit de kleuterschool met aan de zijkant gaten met verschillende vormen en een aantal blokken van allerlei vormen, waarbij het de bedoeling was om alle blokken in de doos te krijgen? Maar niet elk blok ging door elk gat, dus een eerste vorm van logisch denken werd eigen gemaakt.Wiskunde poneert geen waarheden als dogma's, maar ontdekt ze binnen een nauwkeurig afgelijnd kader. Dit betekent vooral de eerlijke erkenning dat iedere uitspraak pas geldig is binnen bepaalde afspraken (axioma's) en voorwaarden. Een wiskundige zal een stelling dus nooit als dogma beschouwen, maar zal eerder nieuwsgierig zijn naar het effect van andere afspraken of voorwaarden op deze "waarheid". Hoe dikwijls gebeurt het niet dat twee politici diametraal tegenover elkaar staan in een of andere kwestie, maar dat ze toch allebei gelijk hebben omdat ze elk hun logische redenering opbouwen vanuit verschillende grondbeginselen.Hoe hoger het doel, hoe lastiger de weg, maar hoe intenser de voldoening. Over smaken en kleuren gaan we niet discussiëren, maar het geluksgevoel bij het vinden of begrijpen van een kristalheldere redenering of een elegante oplossing is vergelijkbaar met wat we soms ervaren bij literatuur of concerten. Wiskunde wordt bedreven op de dynamische grens tussen de absolute zekerheden en de dingen die we nog niet, en misschien zelfs nooit zullen weten. Ieder succes in dit grensconflict is een nieuwe waarheid die binnen een nauwkeurig afgebakend gebied absoluut en eeuwig is, en die we nooit meer moeten prijsgeven. Neem als voorbeeld de Stelling van Pythagoras: binnen de spelregels van de euclidische meetkunde is deze stelling voor altijd geldig, los van iedere politieke omwenteling, ethische revolutie of experimentele bevinding met een deeltjesversneller. 'Er bestaan nog zekerheden', zegt men wel eens, maar dan wel dankzij de wiskunde.Paul Levrie en Rudi Penne doceren beiden wiskunde aan de Faculteit Toegepaste Ingenieurswetenschappen van de UAntwerpen. Daarnaast zijn ze intensief bezig met het populariseren van de wiskunde, door het geven van lezingen voor een breed publiek, het organiseren van MathsJams enz. Hun grootste project tot nu toe is het boek De Pracht van Priemgetallen, over de geschiedenis van de priemgetallen, dat verschenen is in 2014 en bedoeld is voor de wiskundig geïnteresseerde leek. Het boek won in 2014 een prijs voor wetenschapscommunicatie.