Het klinkt akelig bij het begin van het schooljaar, maar wiskunde is een van de fascinerendste vakken ter wereld. Ian Stewart over tellen, de trein nemen, baby’s maken en tijdreizen.

Hij vergelijkt een wiskundige met Sherlock Holmes: ‘De natuur is een raadsel. Op het eerste gezicht weet je niet hoe iets in mekaar zit. Je kijkt naar een boom en ziet takken. In die vertakking zit een patroon. Een wiskundige zoekt dat patroon en vraagt zich af waar het vandaan komt. Hij krijgt aanwijzingen van de natuur, net zoals Holmes aanwijzingen vond: voetafdruk, sigarettenpeuk… Op basis daarvan kon hij beginnen met het oplossen van de misdaad. Een andere overeenkomst is dat Holmes een batterij aan technieken had: hij kende allerlei soorten voetafdrukken. Ook de wiskundige gebruikt zijn arsenaal aan technieken om raadsels op te lossen.’

Ian Stewart is een raadsel op zich. Hij is verbonden aan het departement Wiskunde van de universiteit van Warwick in Groot-Brittannië, geeft overal lezingen over de wondere wereld van de wiskunde en schrijft het ene boek na het andere. Er staan tot dusver meer dan zestig titels op zijn naam – ook in de afdeling fictie, want hij bedrijft sciencefiction. Maar vooral als populariseerder van de wiskunde geldt hij wereldwijd als een Uitzonderlijk Fenomeen. Diepgang en toegankelijkheid gaan bij weinigen zó goed, zo haast achteloos, samen als bij Stewart, die wiskunde definieert als ‘de wetenschap van patronen’.

Wat is dat eigenlijk, een patroon?

Ian Stewart: Er bestaan verschillende soorten patronen. Neem de planeten. Die beschrijven een baan om de zon. Dat is een patroon, ze gehoorzamen natuurkundige wetten – maar die zijn verborgen. Als je ernaar kijkt, denk je niet meteen: ha, ik zie het patroon! Nee, die patronen moesten worden ontdekt, en dat heeft honderden jaren geduurd. Maar zodra we ze kenden, hadden we een erg simpele beschrijving van iets wat erg ingewikkeld leek. Anderzijds zijn er patronen die je wél direct ziet. Iedereen die onder een microscoop naar een sneeuwvlok kijkt, ziet de symmetrische vorm. De vraag is dan: waar komt die vandaan? Ook dat is lang een raadsel gebleven. Dus ja, wiskunde is de wetenschap van patronen. Maar alleen het patroon beschrijven, volstaat niet. Die kennis moet ook nog kunnen worden gebruikt. Wiskundigen worden niet betaald omdat wiskunde zo mooi is, maar omdat je er vanalles mee kunt doen.

Dus een leerling mag zich afvragen: waar dient dit in godsnaam voor?

Stewart: Zeker! Men kan hem zelfs een antwoord geven. Er is weliswaar een verschil tussen zuivere en toegepaste wiskunde. Een zuivere wiskundige is niet geïnteresseerd in het nut van wat hij doet. Maar de meeste goede wiskunde kan vroeg of laat toch wel worden gebruikt. Priemgetallen zijn een goed voorbeeld. Eeuwenlang dienden die nergens voor. Vandaag gebruiken we ze onder meer om e-mails te coderen, te beveiligen. Dus je kunt bij een ogenschijnlijk ‘nutteloos’ nieuw bewijs denken: geen idee waarvoor het dient, maar this is good stuff, dus er kan iets van komen.

U vergelijkt een goed bewijs met een goede roman.

Stewart: Ja, een wiskundig bewijs is een verhaal dat wordt verteld aan wiskundigen. Aan mensen met voorkennis, dus. Vergelijk het met sciencefiction: de fans kennen fenomenen zoals warpdrive en tijdmachines, zodat je die niet meer hoeft uit te leggen. Maar een goed wiskundig bewijs moet een overtuigend verhaal vertellen. Hoe overtuigender, hoe beter. De definitie van een bewijs is: een reeks logische stappen, waarmee iets nieuws wordt afgeleid uit de dingen die je al wist. Maar dat is hetzelfde als zeggen: een roman is een reeks zinnen, die van begin tot einde doorlopen. Er zit dus meer achter. Net als een roman heeft een bewijs ook een soort narratieve structuur. Tot dat inzicht ben ik nog niet zolang geleden gekomen, toen ik zelf sciencefiction begon te schrijven. Ik vroeg me meteen af waarom we dat niet vertellen aan onze studenten. Al is het natuurlijk zo al moeilijk genoeg om een bewijs te vinden, zonder dat je wordt lastiggevallen met narratieve en stilistische criteria.

Een bewijs moet ook ‘elegant’ zijn, lees je vaak. Wat bedoelt men daarmee?

Stewart: Het heeft onder meer met eenvoud te maken. Einstein heeft ooit gezegd: ‘Zo eenvoudig mogelijk, maar niet eenvoudiger dan dat.’ Een elegant bewijs is kort en pittig. Er moet een verrassend idee achter zitten waardoor het allemaal op z’n plaats valt. Dat idee is de vonk van genialiteit waarmee je het publiek als het ware naar adem doet happen. (klapt in de handen) Wham, dat is het! Misschien kun je het pittige, korte bewijs nog beter vergelijken met een gedicht. Want er zijn natuurlijk ook erg lange, tamelijk ingewikkelde voorbeelden. Die lijken meer op romanturven zoals Oorlog en Vrede.

De Laatste Stelling van Fermat is inmiddels bewezen. Het gelijknamige boek werd enkele jaren geleden zelfs een bestseller. Maar er zijn nog andere, eeuwenoude raadsels.

Stewart: Er zijn zeven problemen waar het Amerikaanse Clay Mathematics Institute een miljoen dollar voor heeft uitgeloofd. En wie het zogenaamde Vermoeden van Goldbach kan bewijzen, krijgt een miljoen dollar van een Amerikaanse uitgever.

Dat Vermoeden van Goldbach klinkt simpel: ‘Elk even getal groter dan twee is de som van twee priemgetallen’.

Stewart: Ja, dat klinkt simpel.

Waarom is het dan nog niet bewezen?

Stewart:(lacht) Omdat het enorm ingewikkeld is! En hoe weten we dat het ingewikkeld is? Wel, omdat het nog niet bewezen is. Je kunt weliswaar de even getallen afgaan en telkens de bijbehorende priemgetallen zoeken, maar de vraag luidt natuurlijk: zijn er uitzonderingen? Er zijn genoeg redenen waarom het niet de moeite waard is om die te zoeken. En het bewijs is moeilijk omdat het gaat over het optellen van priemgetallen. En priemgetallen hebben te maken met het vermenigvuldigen en delen van getallen. Dat blijkt uit de definitie: een priemgetal is elk geheel getal groter dan 1 dat alleen deelbaar is door 1 en door zichzelf.

Zou het kunnen dat een veertienjarige morgen toch dat bewijs vindt en miljonair wordt?

Stewart: Dat is mogelijk, ja. Wiskundige wonderkinderen bestaan. Maar in dit geval acht ik het hoogst onwaarschijnlijk.

Wat betekent het als men zegt dat getallen de ziel van de wiskunde vormen?

Stewart: Getallen zijn het fundament waarop alle wiskunde is gebouwd. We zijn beginnen te tellen en de rest is daaruit gevolgd. Maar logica is nog fundamenteler. Bertrand Russell en Alfred Whitehead besteden in hun Principia Mathematica de eerste zeshonderd pagina’s om bij het getal ‘1’ te komen. Honderd pagina’s verder hebben ze ‘2’. Vijftig pagina’s later bewijzen ze dat 2 plus 2 gelijk is aan 4. En nog eens honderd pagina’s later hebben ze alle andere wiskunde daaruit afgeleid. Dus ja, zodra je de getallen hebt, volgt de rest als het ware vanzelf. Tenminste, op deze planeet. Ik werk momenteel aan een sciencefiction boek over aliens. En het is niet zeker dat die dezelfde wiskunde zouden hebben als wij.

Omdat buitenaardse wezens niet kunnen tellen?

Stewart: Daar komt het wel op neer. Kijk, wij leven op een planeet met allemaal discrete, identificeerbare objecten. Wij kennen bijvoorbeeld stenen. En daar kun je een stapel mee maken: één steen, twee stenen, enzoverder. De zon komt op, de zon gaat onder. Zo tellen wij de dagen. Dan kijken we naar de maan en stellen we vast dat er om de achtentwintig dagen een nieuwe maan is. Dus het lijkt alsof er een verband is tussen die stenen en de maan: getallen en tellen, namelijk. Maar beeld u nu eens in dat er aliens bestaan die in een compleet andere omgeving zijn geëvolueerd. Wezens die aan de buitenkant van een ster leven. We noemen ze plasmoïds. Op het eerste gezicht vraag je je af: hoe kan iets overleven in zo’n hete omgeving? Het antwoord is: ze bestaan niet uit materie zoals wij, maar uit magnetisme – het zijn patronen van magnetische draaikolken in het plasma van een hete ster. Hun wereld is er een van constante verandering, waarin geen discrete, identificeerbare objecten bestaan. Ze kunnen zelfs niet tot ‘1’ tellen, want nog vóór ze iets hebben opgemerkt, is het allang mijlenver van hen verwijderd. Een driehoek tekenen? Zouden ze niet kunnen. Tegen de tijd dat ze aan de tweede hoek komen, is de eerste al verdwenen.

En hoe kunnen ze dan toch wiskunde bedrijven?

Stewart: Wel, ze zouden bijvoorbeeld intuïtief goed aanvoelen hoe vloeistoffen bewegen, zich gedragen. Turbulentie begrijpen en wiskundig beschrijven, zou voor hen een fluitje van een cent zijn. Dit is natuurlijk niet meer dan een gedachtenoefening, maar wel interessant. Wij weten in feite niet eens precies wat turbulentie is. We zullen dan ook nooit in staat zijn om het weer accuraat te voorspellen. Ondanks al die krachtige computers en ons vermogen om te tellen.

Toch hebben wij moeite met getallen. Zo druist statistiek vaak tegen onze intuïtie in. Er bestaat een mooie anekdote over Charles Dickens, die eind december weigerde de trein te nemen, omdat het gemiddelde aantal treinongevallen die maand nog niet was bereikt en hij dus bang was.

Stewart: Ik zal u uitleggen waarom statistiek zo moeilijk is. Statistiek heeft niets te maken met de dingen die gebeuren, maar wel met wat er zou gebeuren als je bepaalde dingen vele keren na mekaar zou doen. Als ik een munt opgooi, dan heb ik vijftig procent kans op kop of munt. Maar dat betekent niet dat ik een halve munt en een halve kop krijg als ik één keer gooi. Het betekent ook niet dat ik één kop en één munt krijg als ik twee keer gooi. Als ik het duizend keer doe, verwacht ik ongeveer vijfhonderd keer munt te hebben. Maar niemand gooit duizend keer een munt op. Dickens nam ook geen twintigduizend keer de trein in december. Maar het waren wel die twintigduizend treinritten die aan de basis lagen van de statistieken waar hij zo bang voor was. Dus waarschijnlijkheden ervaren wij nooit op een zinvolle manier. Wij ervaren maar één voorbeeld.

Daarom zijn loterijen zo succesvol.

Stewart: Precies. Statistisch gesproken kun je daar alleen maar geld mee verliezen. Als ik vandaag tegen veertig miljoen Britten zeg dat ze niet moeten meedoen aan de loterij, omdat het weggegooid geld is, zal ik gelijk hebben in 39.999.999 van de gevallen. (lacht) Maar ik zal mij in één geval geweldig spectaculair vergissen. Ons brein is niet geëvolueerd om statistisch te denken. Waarschijnlijkheden waren in onze evolutie niet zo belangrijk, we hadden het te druk met overleven op de korte termijn. Al wordt statistiek steeds belangrijker. We zijn met zes miljard op deze planeet, dus we doen vandaag miljarden dingen miljarden malen per dag.

Een beetje kennis van en gevoel voor statistiek zou handig zijn in deze ‘risicomaatschappij’.

Stewart: Dat zou niet slecht zijn. De British Medical Association heeft eens een lijst gepubliceerd met het aantal mensen dat in één jaar sterft tengevolge van een bepaalde activiteit. In ruwe orde van grootte zag die lijst er zo uit. Roken: 1 op 2000. Voetbal spelen: 1 op 26.000. Vliegtuigcrash: 1 op een miljoen. Ongeval in een kerncentrale: 1 op 20 miljoen. Voetbal spelen is dus gevaarlijker dan het vliegtuig nemen. En voetbal spelen is gevaarlijker dan een kerncentrale. Tenminste, héél belangrijk: voor een individu! Want als een kerncentrale ontploft, kunnen er natuurlijk in één klap miljoenen doden vallen.

Kun je zeggen dat wiskunde de werkelijkheid noodzakelijkerwijze ‘vereenvoudigt’?

Stewart: Ja, wiskundigen houden zich vaak bezig met zogenaamde toy problems, speelgoedproblemen. Neem een taart: hoe moet je die onder drie of meer mensen verdelen, zodat ze allemaal het gevoel hebben dat ze een eerlijk deel hebben gekregen? Met twee mensen is het simpel: de ene snijdt de taart in twee stukken, de andere mag als eerste een stuk nemen. Maar met drie mensen wordt het al veel ingewikkelder. Toch bestaan er wiskundige trucs om tot een voor alle partijen min of meer bevredigende oplossing te komen. Wat als er bijvoorbeeld een kers op de taart ligt, en iedereen is geïnteresseerd in die kers? De truc bestaat er dan in om die kers in eerste instantie te vergeten, en dat probleem pas op te lossen als de rest van de taart verdeeld is. Zo is het na de Tweede Wereldoorlog gegaan met de verdeling van Duitsland. Berlijn was een groot probleem omdat iedereen er een deel van wou. Maar eerst werd Duitsland verdeeld. Berlijn bleek dan in het Russische deel te liggen en werd als laatste verdeeld. Berlijn was de kers op de taart. Dus je ziet dat sommige politieke beslissingen, al dan niet bewust, parallel lopen met de wiskundige principes.

Trucs die ook handig zijn bij een echtscheiding, als men de inboedel wil verdelen!

Stewart: Dat klopt. De simpele situatie, die taart, bevat de essentie van wat er gebeurt. Het geeft je een vertrekpunt. Als je begint met dingen die te realistisch zijn, raak je nergens.

U hebt een boek geschreven met als ondertitel: ‘Is God een meetkundige?’ Hebt u een kort antwoord op die vraag?

Stewart:(lacht) Oké. Het lijkt écht wel alsof het universum gebouwd is op simpele principes die wij als wiskundigen kunnen bevatten. Wiskunde is alleszins de beste manier om de patronen en regels van het universum te beschrijven. En ik denk dat het universum inderdaad bepaalde eenvoudige regels volgt. Nu zijn er twee mogelijkheden. Ofwel zijn we er nog niet helemaal en moeten we sommige wetten nog ontdekken. Ofwel verschillen de échte wetten van het universum compleet van onze wiskundige wetten. Dit is moeilijk om uit te leggen zonder grote redeneerfouten te maken, maar ik kan proberen. Met fundamentele deeltjes maak je atomen. Met atomen maak je moleculen. Met moleculen maak je organismen, enzovoort. Maar vlak na de oerknal had je alleen maar fundamentele deeltjes! De vraag is: de wetten die het gedrag van moleculen beschrijven, bestonden die toen al? Potentieel misschien wel, maar ze werden zeker nog niet toegepast. Dus in die zin kun je zeggen dat het universum misschien geen nieuwe wetten verzint, maar toch ontvouwt naarmate het evolueert. Maar dat de fysica nog niet alles begrijpt, is duidelijk: de relativiteitstheorie en de quantumtheorie zijn nog niet met elkaar verzoend. De zogenaamde Theorie van Alles is nog niet gevonden. Maar ook dat zal een wiskundige formule zijn.

Zodat we straks het geheim van het universum op ons T-shirt kunnen zetten!

Stewart: Iets zoals ‘E = mc²’, dat zou kunnen. Maar, nogmaals: dat betekent nog niet dat het universum ook daadwerkelijk zo in mekaar zit. Het zou mooi zijn mochten we de Ultieme Formule op ons T-shirt kunnen zetten. Maar waarom zou het universum moeten werken volgens een formule die wij, menselijke wezens, op een T-shirt kunnen zetten? Dus dat is één ding: de formule die we zoeken, bestaat misschien niet. En als ze wel bestond, wat dan nog? De stap van die formule naar de beschrijving van het menselijke gedrag, of de wereldeconomie of de beurs of wat dan ook, is zo ontzaglijk groot dat we er weinig mee zouden opschieten. Ik zie bijvoorbeeld niet in hoe die formule ons inzicht in de evolutie van het leven op aarde zou kunnen vergroten.

U noemt biomathematica dé wetenschappelijke groeisector van deze eeuw. Waar hebben biologie en wiskunde mekaar gevonden?

Stewart: Er wordt uiteraard veel statistiek gebruikt in de biologie, maar daar heb ik het dan niet over. De eerste plaats waar biologie en wiskunde mekaar hebben gevonden, is in onze modellen van het zenuwstelsel: hoe signalen worden verstuurd. Ons brein is zo complex dat je er onmogelijk iets van kunt begrijpen zónder wiskundige modellen. Visuele perceptie, bijvoorbeeld: hoe zien wij de dingen? Het lijkt simpel, maar een computer leren zien, is erg ingewikkeld. Bij het beschrijven van al die processen is wiskunde onontbeerlijk. Dynamische ziekten, nog een gebied waar de twee mekaar ontmoeten: hartproblemen, bijvoorbeeld, en hoe die evolueren met de tijd. En natuurlijk, dé grote vraag: welke processen spelen zich af tussen bevruchte eicel en baby?

U hebt ooit geschreven dat wiskunde in zekere zin fundamenteler is dan DNA.

Stewart: Niet zozeer fundamenteler, maar de andere helft van het verhaal. Een baby, waar komt die vandaan? Oké, genetisch materiaal van de vader, genetisch materiaal van de moeder, enzovoort. Veel processen die een baby ‘maken’ zijn gecodeerd in de combinatie van die genen. Maar er spelen ook andere dingen. Die genetische informatie moet ‘bewerkt’ worden. Door chemische en fysische processen die níét in ons DNA geprogrammeerd zijn – die onafhankelijk werken. En die processen gehoorzamen de wetten van de chemie en de fysica. Wiskundige wetten. In die zin begrijpen we nog niet zo goed hoe een baby wordt gemaakt. Er gaapt een grote kloof tussen onze kennis van de genetische code en een complete verklaring van alle systemen die betrokken zijn bij het maken van een nieuw organisme. En de wiskunde zal daarin een belangrijke rol spelen. (lacht) Dus u merkt het, zelfs als ik een baby zie, denk ik: wiskunde!

Is wiskunde een hulpmiddel voor andere wetenschappen, of is het iets fundamentelers?

Stewart: Velen zouden graag geloven dat het fundamenteler is. Fysici zullen zeker geneigd zijn om dat te denken. De tendens is alleszins dat steeds meer wetenschappen zich baseren op de wiskunde. Maar volgens mij gaat het altijd om een partnership. Je kunt zeggen: fysica is gebaseerd op wiskunde, omdat de wetten wiskundig zijn. Maar je kunt evengoed zeggen: we hebben de wiskunde maar kunnen ontdekken dankzij de fysische fenomenen. Newton heeft een grote bijdrage geleverd aan de wiskunde omdat hij differentiaalvergelijkingen wilde oplossen om de beweging van de planeten te begrijpen.

Over tijdreizen hebt u ook geschreven. Wat zegt de wiskunde daarover?

Stewart: De relativiteitstheorie van Einstein sluit tijdreizen in principe niet uit. Alleen is het in de praktijk wellicht onmogelijk, omdat je er te veel energie voor nodig hebt – meer energie, namelijk, dan er aanwezig is in het hele universum. Maar theoretisch kan het en dat is interessant, want je zou verwachten dat er een natuurkundige wet bestaat die zegt: tijdreizen is onmogelijk.

Omdat je bezwaarlijk terug kunt gaan in de tijd om je eigen grootvader te vermoorden.

Stewart: Exact, denk maar aan de paradoxen in de film Back to the future. Laat ik proberen wat helderheid te scheppen. Een fysicus weet hoe hij een tijdmachine moet maken, met zwarte gaten en wormgaten enzovoort. Alleen hebben we niet de technologie om zwarte gaten te manipuleren, omdat er te weinig energie is. Er zijn dus drie mogelijkheden. Eén: tijdreizen is theoretisch mogelijk, maar praktisch niet uitvoerbaar. Twee: tijdreizen is onmogelijk, maar de fysische wet die dat verbiedt, moet nog worden ontdekt. Of, drie: tijdreizen is mogelijk en de paradoxen lossen zichzelf op. Concreet: de fysische wetten laten toe dat u teruggaat in de tijd, maar verbieden u om uw grootvader te vermoorden. Terwijl u teruggaat in de tijd, wordt u vergezeld door een andere versie van uzelf, die verhindert dat u uw grootvader vermoordt. En dan werkt het wél.

Iets anders: heel wat verstandige en zeer belezen mensen pronken met hun afkeer van wiskunde. Wat vindt u daarvan?

Stewart: Het omgekeerde komt natuurlijk ook voor. Maar in beide gevallen is het redelijk onnozel. Ten eerste moet je nooit trots zijn op je onwetendheid. En zowel grote kunstwerken als belangrijke wetenschappelijke vondsten vertellen ons iets waardevols over de wereld waarin we leven. Ik geloof trouwens dat meer en meer mensen dat stilaan beginnen te beseffen: we hebben de twee nodig. De enige stroming die mij enorm blijft storen, is het postmodernisme. Er zijn behoorlijk wat postmodernisten die het in hun hoofd hebben gehaald dat wetenschap alleen maar iets is wat mensen ‘geloven’.

Die postmodernisten vinden wetenschap maar ‘een verhaal, zoals alle andere verhalen’.

Stewart: Precies. En dat is niet alleen verkeerd, maar ook gevaarlijk. Die lui begrijpen niet eens wat ‘een verhaal’ is. Een verhaal is nooit ‘zomaar een verhaal’, het is een narratieve structuur die binnen een bepaalde context aan bepaalde voorwaarden moet voldoen. Dat geldt voor een roman, dat geldt voor wetenschap. Dus die kerels hebben van geen van beide verstand – sommige postmoderne literaire critici weten niet wat literatuur is! Compleet stompzinnig, dus. Ach, zoals u weet is de dodo uitgestorven. (lacht) Dat gebeurt straks ook wel met het postmodernisme.

Tot slot: bekijkt u de wereld altijd door een wiskundige bril?

Stewart: Absoluut. Ik heb heel wat research gedaan naar patronen in de manier waarop dieren zich voortbewegen. Als ik een hond zie, merk ik bijvoorbeeld: hoe interessant, hij mankt precies een beetje! Ik zie meteen een wiskundig beeld van wat er aan de hand is. En dat geeft mij een rijkere ervaring van de wereld dan als ik dat niet zou zien. Heel wat mensen denken dat een analytische blik het mysterie kapot maakt. Maar ik zie heel veel mysteries die anderen niet zien. Dat is leuk, hoor. (stralend) Wat een wonderlijk universum is dit toch, dat wij daartoe in staat zijn!

Joël De Ceulaer