Dit artikel bespreekt een heel eenvoudig voorbeeld van menselijk contactnetwerken. Veel verspreidingsaspecten werden noodgedwongen weggelaten om het artikel toegankelijk te houden (zoals de connecties van mensen die gaan werken, de verschillende kansen van overdracht bij een toevallige ontmoeting in een supermarkt versus structurele vriendschapsafspraken, verschillende intensiteit en frequentie van de afspraken...). Toch tonen deze sterk vereenvoudigde modellen van de werkelijkheid al aan dat het snel kan misgaan als we de langverwachte versoepeling te ruim interpreteren.

Nu we elkaar in bubbels van 4 mensen mogen ontmoeten, houden veel mensen hun hart vast: gaan we zo niet eigenhandig een tweede epidemiegolf organiseren? En welke verantwoordelijkheid dragen de belhamels die zich niet aan de regels houden? Dit soort vragen worden al jarenlang door wiskundigen bestudeerd in de grafentheorie: of het nu over de verspreiding van een vette roddel gaat, het viraal gaan van tweets, het vinden van een ideale organisatie van het openbaar vervoer of het doorgeven van het coronavirus aan vrienden, grafen bieden een intuïtieve manier om al deze situaties te modelleren. Enkele heel eenvoudige voorbeelden tonen al aan dat het snel kan mislopen als we de regels te los interpreteren.

De ideale situatie: iedereen houdt zich aan de regels.

Grafen zijn in essentie eigenlijk een verzameling knopen en bogen die we grafisch makkelijk kunnen voorstellen als een netwerk. In ons geval zijn de knopen mensen en stellen de bogen een frequent contact voor. Zelf een graaf maken van jouw vier vertrouwelingen is dus erg simpel: je schrijft je naam, evenals die van je vier uitverkoren en vermits jullie nu met elkaar intens gaan afspreken, trek je lijntjes.

Stel, we hebben een bevolking van slechts 15 personen en iedereen interpreteert de regels erg strikt. Iedereen kiest dus 4 personen en elk groepje zweert absolute trouw aan elkaar: er wordt enkel binnen de groep afgesproken.

Filip Moons
© Filip Moons

Dat levert een onsamenhangende graaf op: er zitten drie onafhankelijke clusters in. Dat is ideaal om verspreiding tegen te gaan: stel dat Bert besmet raakt met Covid-19, dan zal hij binnen zijn eigen cluster mensen kunnen besmetten, maar het zal hoe dan beperkt blijven tot zijn bubble. Het is echter héél eenvoudig om een volledig samenhangend netwerk te bekomen: als één iemand uit het gele en blauwe groepje begint af te spreken met iemand uit het rode groepje, is het netwerk al volledig geconnecteerd. Stel dat Elio en Zohra beginnen afspreken en Sacha en Saartje doen hetzelfde, dan krijgen we dit:

Filip Moons
© Filip Moons

Hoe veilig is dit netwerk in het kader van de verspreiding van virussen? Daar zijn binnen de grafentheorie verschillende maten voor, een heel bekende is de diameter: de langste afstand die bestaat tussen twee personen. Zo is de afstand van Elio tot Zohra 1 (je moet minimaal 1 boog doorlopen om beide knopen met elkaar te verbinden), de afstand van Bert tot Sophie 3 (tussenstop via Elio en Zohra), de afstand van Raf tot Inge ook 3, maar de afstand van Axel tot Inge is 5 (tussenstop via Elio, Zohra, Sacha, Saartje).

De diameter ken je misschien al van de hypothese van de 'zes graden van verwijdering': moesten we niet afspraakjes in Covid-tijden aan het modelleren zijn, maar het wereldwijde netwerk waarbij er een boog wordt getrokken van zodra mensen elkaar kennen, dan luidt de hypothese dat elke willekeurige wereldburger verbonden is met elke andere willekeurige wereldburger via hoogstens 5 tussenpersonen (en dus 6 bogen).

Hoewel de diameter een interessante maat is, moeten we er vooral voor zorgen dat onze intense contacten zo geclusterd mogelijk blijven. De clusteringscoëfficiënt van een persoon kan je berekenen door te gaan kijken hoe geconnecteerd hun vertrouwelingen zijn. Bekijken we bijvoorbeeld de clusteringscoëfficiënt van Axel, dan zien we dat die 4 vertrouwelingen heeft: Bert, Elke, Elio & Ellen. Binnen zo'n groepje van 4 vertrouwelingen kan elke vertrouweling potentieel een connectie maken met de 3 andere vertrouwelingen, wat neer komt op 4*3 = 12 connecties.

We hebben echter dubbel geteld: in ons geval spreek je samen af en als Ellen pakweg een connectie maakt met Elke, dan maakt Elke ook een connectie met Ellen. We moeten dus 12 nog door 2 delen: binnen een groepje van 4 vertrouwelingen zijn er dus 6 mogelijke connecties. Als we alle bogen tussen Bert, Elke, Elio en Ellen tellen op bovenstaand schema, zijn dat ook 6 bogen. Dat is dus 6 op 6: alle mogelijke vertrouwsbanden zijn tussen de vertrouwelingen van Axel effectief gesmeed, Axel heeft een clusteringscoëfficiënt van 100%. Willen we nu de clusteringscoëfficient van Elio berekenen, dan moeten we gaan kijken hoe zijn vertouwelingen Ellen, Axel, Bert, Elke & Zohra onderling verbonden zijn.

Wiskunde & Corona: waarom we best een pact sluiten met onze 4 vertrouwelingen.

Binnen zo'n groepje van 5 vertrouwelingen kan elke vertrouweling potentieel een connectie maken met de 4 andere vertrouwelingen. Dan komt neer op 5*4 = 20 connecties. We hebben opnieuw dubbel geteld en moeten dus nog 20 door 2 delen: binnen een groepje van 5 vertrouwelingen zijn er dus 10 mogelijke connecties. De vertrouwelingen Ellen, Axel, Bert en Elke zijn allemaal met elkaar verbonden wat 6 connecties oplevert (tel het aantal bogen in bovenstaand schema), Zohra is met niemand van de andere vertrouwelingen verbonden. In totaal zijn er dus 6 connecties op 10 mogelijke connecties, de clusteringscoëfficient van Elio bedraagt zo slechts 60%. Hij betaalt dus een zware prijs voor zijn extra connectie met Zohra.

Willen we nu naar de clusteringscoëfficiënt van het hele netwerk gaan kijken, dan nemen we gewoon het gemiddelde van alle clusteringscoëfficiënten: 4 personen (Elio, Zohra, Sacha & Saartje) hebben allen een clusteringscoëfficiënt van 60%, 11 personen houden zich prima aan de regels en gaan voor een clusteringscoëfficient van 100%. Gemiddeld hebben we dus 89% clustering. Hoe hoger deze clusteringscoëfficiënt van het hele netwerk, hoe beter: hoe dichter deze bij 100% ligt, hoe meer het netwerk verbrokkeld is in onafhankelijke clusters. Als het virus in één van deze clusters opduikt, is de kans groot dat de besmetting binnen de cluster blijft.

Merk op dat ons verhaal niet volledig is: de clusteringscoëfficiënt kan ook 100% blijven als je met meerdere mensen afspreekt die allemaal onderling verbonden zijn, ook al zijn er dat meer dan 4. Als je echter clusters maakt van 8 mensen, dan verdubbel je wel het aantal mensen dat je kan besmetten binnen een cluster, dus ook de beperking tot 4 personen is niet uit de lucht gegrepen.

Het zorgwekkende is: het is heel gemakkelijk om de clusteringscoëfficiënt van het hele netwerk verder naar omlaag te halen. Stel iedereen houdt zich nog steeds vast aan het getal 4, maar iedereen interpreteert de regel zo dat hij 4 avonden in de week met één iemand afspreekt. In het meest extreme geval houden de 4 vertrouwelingen van een persoon onderling nooit een afspraakje met elkaar en krijg je bv. volgende graaf:

Filip Moons
© Filip Moons

Ook deze graaf is samenhangend, de diameter is slechts 3 (de langste afstand tussen twee personen) maar de clusteringscoëfficiënt van iedereen is 0: niemand heeft vertrouwelingen die ook onderling afspreken! Het netwerk is zo helemaal niet meer geclusterd en ook de diameter is danig klein dat je zo virussen wel erg veel plezier doet: het virus zal niet meer binnen een cluster blijven, want er zijn er gewoon geen.

Conclusie: maak een pact met 4 mensen. Zweer trouw aan elkaar en zie elkaar zoveel als jullie willen. Probeer intense afspraakjes met mensen die daarnaast op hun beurt met andere mensen afspreken zoveel mogelijk te mijden, zo haal je zowel je eigen clusteringscoëfficiënt als die van het hele netwerk naar omlaag. De enige die daarbij iets te winnen zou hebben is het virus.

Nu we elkaar in bubbels van 4 mensen mogen ontmoeten, houden veel mensen hun hart vast: gaan we zo niet eigenhandig een tweede epidemiegolf organiseren? En welke verantwoordelijkheid dragen de belhamels die zich niet aan de regels houden? Dit soort vragen worden al jarenlang door wiskundigen bestudeerd in de grafentheorie: of het nu over de verspreiding van een vette roddel gaat, het viraal gaan van tweets, het vinden van een ideale organisatie van het openbaar vervoer of het doorgeven van het coronavirus aan vrienden, grafen bieden een intuïtieve manier om al deze situaties te modelleren. Enkele heel eenvoudige voorbeelden tonen al aan dat het snel kan mislopen als we de regels te los interpreteren.Grafen zijn in essentie eigenlijk een verzameling knopen en bogen die we grafisch makkelijk kunnen voorstellen als een netwerk. In ons geval zijn de knopen mensen en stellen de bogen een frequent contact voor. Zelf een graaf maken van jouw vier vertrouwelingen is dus erg simpel: je schrijft je naam, evenals die van je vier uitverkoren en vermits jullie nu met elkaar intens gaan afspreken, trek je lijntjes. Stel, we hebben een bevolking van slechts 15 personen en iedereen interpreteert de regels erg strikt. Iedereen kiest dus 4 personen en elk groepje zweert absolute trouw aan elkaar: er wordt enkel binnen de groep afgesproken. Dat levert een onsamenhangende graaf op: er zitten drie onafhankelijke clusters in. Dat is ideaal om verspreiding tegen te gaan: stel dat Bert besmet raakt met Covid-19, dan zal hij binnen zijn eigen cluster mensen kunnen besmetten, maar het zal hoe dan beperkt blijven tot zijn bubble. Het is echter héél eenvoudig om een volledig samenhangend netwerk te bekomen: als één iemand uit het gele en blauwe groepje begint af te spreken met iemand uit het rode groepje, is het netwerk al volledig geconnecteerd. Stel dat Elio en Zohra beginnen afspreken en Sacha en Saartje doen hetzelfde, dan krijgen we dit:Hoe veilig is dit netwerk in het kader van de verspreiding van virussen? Daar zijn binnen de grafentheorie verschillende maten voor, een heel bekende is de diameter: de langste afstand die bestaat tussen twee personen. Zo is de afstand van Elio tot Zohra 1 (je moet minimaal 1 boog doorlopen om beide knopen met elkaar te verbinden), de afstand van Bert tot Sophie 3 (tussenstop via Elio en Zohra), de afstand van Raf tot Inge ook 3, maar de afstand van Axel tot Inge is 5 (tussenstop via Elio, Zohra, Sacha, Saartje). De diameter ken je misschien al van de hypothese van de 'zes graden van verwijdering': moesten we niet afspraakjes in Covid-tijden aan het modelleren zijn, maar het wereldwijde netwerk waarbij er een boog wordt getrokken van zodra mensen elkaar kennen, dan luidt de hypothese dat elke willekeurige wereldburger verbonden is met elke andere willekeurige wereldburger via hoogstens 5 tussenpersonen (en dus 6 bogen).Hoewel de diameter een interessante maat is, moeten we er vooral voor zorgen dat onze intense contacten zo geclusterd mogelijk blijven. De clusteringscoëfficiënt van een persoon kan je berekenen door te gaan kijken hoe geconnecteerd hun vertrouwelingen zijn. Bekijken we bijvoorbeeld de clusteringscoëfficiënt van Axel, dan zien we dat die 4 vertrouwelingen heeft: Bert, Elke, Elio & Ellen. Binnen zo'n groepje van 4 vertrouwelingen kan elke vertrouweling potentieel een connectie maken met de 3 andere vertrouwelingen, wat neer komt op 4*3 = 12 connecties. We hebben echter dubbel geteld: in ons geval spreek je samen af en als Ellen pakweg een connectie maakt met Elke, dan maakt Elke ook een connectie met Ellen. We moeten dus 12 nog door 2 delen: binnen een groepje van 4 vertrouwelingen zijn er dus 6 mogelijke connecties. Als we alle bogen tussen Bert, Elke, Elio en Ellen tellen op bovenstaand schema, zijn dat ook 6 bogen. Dat is dus 6 op 6: alle mogelijke vertrouwsbanden zijn tussen de vertrouwelingen van Axel effectief gesmeed, Axel heeft een clusteringscoëfficiënt van 100%. Willen we nu de clusteringscoëfficient van Elio berekenen, dan moeten we gaan kijken hoe zijn vertouwelingen Ellen, Axel, Bert, Elke & Zohra onderling verbonden zijn. Binnen zo'n groepje van 5 vertrouwelingen kan elke vertrouweling potentieel een connectie maken met de 4 andere vertrouwelingen. Dan komt neer op 5*4 = 20 connecties. We hebben opnieuw dubbel geteld en moeten dus nog 20 door 2 delen: binnen een groepje van 5 vertrouwelingen zijn er dus 10 mogelijke connecties. De vertrouwelingen Ellen, Axel, Bert en Elke zijn allemaal met elkaar verbonden wat 6 connecties oplevert (tel het aantal bogen in bovenstaand schema), Zohra is met niemand van de andere vertrouwelingen verbonden. In totaal zijn er dus 6 connecties op 10 mogelijke connecties, de clusteringscoëfficient van Elio bedraagt zo slechts 60%. Hij betaalt dus een zware prijs voor zijn extra connectie met Zohra.Willen we nu naar de clusteringscoëfficiënt van het hele netwerk gaan kijken, dan nemen we gewoon het gemiddelde van alle clusteringscoëfficiënten: 4 personen (Elio, Zohra, Sacha & Saartje) hebben allen een clusteringscoëfficiënt van 60%, 11 personen houden zich prima aan de regels en gaan voor een clusteringscoëfficient van 100%. Gemiddeld hebben we dus 89% clustering. Hoe hoger deze clusteringscoëfficiënt van het hele netwerk, hoe beter: hoe dichter deze bij 100% ligt, hoe meer het netwerk verbrokkeld is in onafhankelijke clusters. Als het virus in één van deze clusters opduikt, is de kans groot dat de besmetting binnen de cluster blijft.Merk op dat ons verhaal niet volledig is: de clusteringscoëfficiënt kan ook 100% blijven als je met meerdere mensen afspreekt die allemaal onderling verbonden zijn, ook al zijn er dat meer dan 4. Als je echter clusters maakt van 8 mensen, dan verdubbel je wel het aantal mensen dat je kan besmetten binnen een cluster, dus ook de beperking tot 4 personen is niet uit de lucht gegrepen. Het zorgwekkende is: het is heel gemakkelijk om de clusteringscoëfficiënt van het hele netwerk verder naar omlaag te halen. Stel iedereen houdt zich nog steeds vast aan het getal 4, maar iedereen interpreteert de regel zo dat hij 4 avonden in de week met één iemand afspreekt. In het meest extreme geval houden de 4 vertrouwelingen van een persoon onderling nooit een afspraakje met elkaar en krijg je bv. volgende graaf:Ook deze graaf is samenhangend, de diameter is slechts 3 (de langste afstand tussen twee personen) maar de clusteringscoëfficiënt van iedereen is 0: niemand heeft vertrouwelingen die ook onderling afspreken! Het netwerk is zo helemaal niet meer geclusterd en ook de diameter is danig klein dat je zo virussen wel erg veel plezier doet: het virus zal niet meer binnen een cluster blijven, want er zijn er gewoon geen. Conclusie: maak een pact met 4 mensen. Zweer trouw aan elkaar en zie elkaar zoveel als jullie willen. Probeer intense afspraakjes met mensen die daarnaast op hun beurt met andere mensen afspreken zoveel mogelijk te mijden, zo haal je zowel je eigen clusteringscoëfficiënt als die van het hele netwerk naar omlaag. De enige die daarbij iets te winnen zou hebben is het virus.