Wat hebben (onder meer) wolken, bomen, luchtwegen, het werk van Jackson Pollock, de Parijse opera en de Britse kust met elkaar gemeen? Ze hebben allemaal een ‘fractale’ structuur. Benoit Mandelbrot, de vader van de fractale meetkunde, wordt dit jaar tachtig. Een gesprek over de ‘oneffenheid’ van de wereld.
Hoe lang is de Britse kust? Het is de titel van zijn bekendste artikel. De vraag is simpel, maar het antwoord ligt niet voor de hand. Het hangt er namelijk van af hoe je die kust meet. Als je het doet met een lat van 50 meter, zal ze langer blijken te zijn dan als je het doet met een lat van 100 meter. Met een lat van 10 meter wordt ze nog langer, want daarmee kun je nóg kleinere kronkels meten. Naarmate de schaal van je lat kleiner wordt, wordt de Britse kust almaar langer – tot in het oneindige.
Dat komt omdat een kustlijn er vanaf elke afstand, en dus op elke schaal, ongeveer hetzelfde uitziet: een baai is even oneffen en kronkelig als de hele kust, en een steen is even oneffen als een baai. Hetzelfde geldt voor onder meer bergen en wolken: het zijn geen perfecte Euclidisch-meetkundige figuren – of, zoals Benoit Mandelbrot het graag formuleert: ‘Bergen zijn geen kegels, wolken zijn geen sferen, en rivieren zijn geen rechte lijnen.’
Wat zijn het dan wel? Het zijn allemaal fractalen. ‘Een fractaal is iets dat kan worden ontleed in verschillende delen, die elk afzonderlijk ongeveer dezelfde structuur hebben als het geheel’, legt Mandelbrot uit. ‘Het typische voorbeeld is een boom. Elke tak ziet er min of meer hetzelfde uit als de hele boom – niet helemaal, maar toch bijna. Ik ben natuurlijk niet de eerste die dat heeft gezien. In een brief aan een jonge collega schreef de Franse schilder Eugène Delacroix ooit: Als je een boom schildert, vergeet dan niet dat elke boom bestaat uit verschillende kleine boompjes. Grote kunstenaars en architecten hebben altijd al fractalen gebruikt. Ik heb ze dus niet uitgevonden, maar ontdekt.’
Zijn ontdekking, en de wonderlijke fractale meetkunde die hij ontwikkelde, wordt tegenwoordig gebruikt in zowat elke wetenschappelijke en technologische discipline. Biologen, economen, beursanalisten, de makers van special effects in Hollywood – allemaal werken ze met computermodellen die gebaseerd zijn op het baanbrekende werk van Mandelbrot. Om de wereld te begrijpen, zijn fractalen onmisbaar geworden.
Een eerste vonk van inzicht kreeg Mandelbrot toen hij begin jaren zestig de schommelingen van de katoenprijs bestudeerde. In de hoop de evolutie van de prijs te kunnen voorspellen, waren economen op zoek naar de onderliggende structuur van die schommelingen. Zonder resultaat. De curve leek volstrekt chaotisch op en neer te gaan. Mandelbrot ontdekte dat er toch een zekere orde in de chaos zat: de dagelijkse curves hadden ongeveer dezelfde structuur als de maandelijkse curves. De prijs evolueert dus niet op een geleidelijke manier, zoals men tot dan altijd had aangenomen, maar met plotse schokken.
Het zijn altijd de praktische toepassingen van zijn werk geweest die hem motiveerden en inspireerden. In 1958 trad hij in dienst van de Amerikaanse computerfirma IBM, zodat de ingenieurs een beroep op hem konden doen. Een van de eerste problemen die hij hielp oplossen, was het storende geruis op telefoonlijnen: men wist niet eens waar dat vandaan kwam. Mandelbrot ontdekte dat geruis spontaan optreedt, volgens een fractaal patroon. Sindsdien houden ingenieurs daar rekening mee.
Net als andere pioniers van de zogenaamde chaostheorie is Mandelbrot een buitenbeentje, een onorthodoxe eenzaat die dwars door alle wetenschappelijke disciplines heen durft te denken, geen specialist die zich concentreert op één gebied. Hij waagde zich zelfs aan kunstkritiek. ‘Ik heb weinig gevoel voor de grenzen tussen verschillende activiteiten’, zegt hij. ‘Mijn instrument is het oog, en het oog kent geen grenzen. Ik heb altijd een goed oog gehad, het is mijn grootste talent. Ik zie patronen en structuren waar anderen die niet zien. En dat bedoel ik heel concreet, in de realiteit.’
En in die rommelige, ruwe realiteit bestaat geen perfectie. Dus ook geen perfecte driehoeken, cirkels, vlakken en rechten, zoals in de Euclidische meetkunde waarmee we allemaal zijn opgegroeid. Die volmaakte figuren waren volgens de Griekse filosoof Plato trouwens de échte werkelijkheid. De onvolmaakte vormen die wij in déze wereld zien, waren volgens hem maar een schaduw van de ideale vormen in het rijk der ideeën, dat alleen toegankelijk is voor de geest. Een totaal verkeerde manier van denken, die veel onheil heeft gesticht, aldus Mandelbrot. ‘Ik zou kunnen zeggen, ik zál het zelfs zeggen’, lacht hij. ‘Ik haat Plato!’
Zoals heel wat leerlingen wiskunde haten.
BENOIT MANDELBROT: Dat verbaast me niet. In de middelbare school leren we wiskunde op een puur formele manier, alsof het een verzameling feiten is. Dat is de totaal verkeerde aanpak, waar-door veel jonge mensen een afkeer van het vak krijgen. Ik ga helemaal andersom te werk. Dankzij de computer kun je wonderlijke vormen laten zien, waar kinderen dol op zijn. Als je mensen wilt rondleiden in het grote huis van de wiskunde, moet je niet beginnen met de koudste kamers waar het altijd tocht, maar met de warmste en leukste kamers, waar het gezellig is.
Het huis van de wiskunde is dus geen ivoren toren.
MANDELBROT: Nee. Dat beeld van een toren zonder deuren of vensters gaat terug op Plato, die zelf trouwens geen wiskundige was, maar een dogmaticus van de ergste soort. Ik bewonder hem, Plato was briljant. Maar zijn invloed is voor velen, onder wie mezelf, een zware last geweest. Ik heb vaak moeten opboksen tegen dat beeld van de zuivere wiskunde, een totaal geïsoleerd vak dat alleen wordt beoefend omwille van zichzelf. Ik zie mezelf meer in de traditie van Archimedes, voor wie wiskunde iets nuttigs was, met verschillende toepassingen.
Hoe zou u wiskunde dan definiëren?
MANDELBROT: Voor de zuivere wiskundige is het vooral een axiomatisch systeem, dat intern consistent is. Voor mij is het ook en vooral een manier om patronen te organiseren. We zien allerlei patronen en structuren om ons heen. Wiskunde is een manier om die met elkaar in verband te brengen en te vereenvoudigen, zodat je ze beter kunt begrijpen en onthouden. Als je het verband tussen patronen ziet, kun je de wereld beter doorgronden en organiseren. Want dan zie je dat totaal verschillende patronen dezelfde algemene regels volgen. Dat is het mooie aan fractalen, ze komen overal voor: in de natuur, in de kunst, de architectuur…
Hoe komt dat? Heeft álles in het universum een fundamenteel fractale structuur?
MANDELBROT: Bijna. Laten we bij het begin beginnen. Stel u een primitief gezin voor: man, vrouw en kind. Hoeveel meetkundige figuren kunnen zij zien? Niet veel. De pupil van het oog is min of meer rond, de volle maan, de zon… Bij weinig wind is het wateroppervlak van het meer ongeveer plat. Maar verder? Niet veel. En niets is perfect rond of plat, zelfs de maan en de zon niet, alles is ruw en oneffen. Oké. Nu maakt de mens zelf voorwerpen, zoals deze tafel. Is die plat? Heel glad, dat wel, veel gladder dan elk voorwerp dat je in de natuur kunt aantreffen. Maar echt plat? Nee, als we ze door een microscoop bekijken, is deze tafel ook erg ruw en oneffen. Zelfs de meest geavanceerde telescoop is niet helemáál plat. Dat zijn details natuurlijk, die minuscule oneffenheden op deze tafel kunnen ons niets schelen. Maar soms zijn oneffenheden géén details: als je een berg bekijkt, bijvoorbeeld, of de schommelingen van een aandeel op de beurs, of het weer… Oneffenheid is dus een fundamentele eigenschap van de meeste fenomenen om ons heen. Soms doet dat er niet toe, soms een beetje, soms is het essentieel.
En wat leren we daaruit?
MANDELBROT: Als je op de beurs speelt, is het goed als je je bewust bent van die oneffenheden. Het risico dat je loopt, is altijd groter dan je dacht. Als je in je eentje dat risico wilt nemen, tot daar aan toe. Maar wie een pensioenfonds beheert, kan het best een zo correct mogelijke inschatting maken en voorzichtig te werk gaan, of hij eindigt op den duur in de gevangenis.
Valt een beurskoers eigenlijk te voorspellen?
MANDELBROT:(vaderlijke glimlach) De menselijke hebzucht verbaast mij altijd weer. De beurs is niet zo belangrijk, weet u. Een betere vraag zou zijn: hoe bouwen we een economisch systeem dat zware stormen kan doorstaan? Maar die vraag wordt niet zo vaak gesteld.
Hoe kan uw meetkunde ons daarbij helpen?
MANDELBROT: Vergelijk het met de manier waarop het bestuderen van stormen ons kan helpen bij het bouwen van een boot. Als je een meer moet oversteken, kan een klein bootje volstaan. Maar als je de oceaan moet oversteken, kun je maar beter rekening houden met de zwaarst mogelijke stormen. Maakt het dan iets uit of je die stormen kunt voorspellen? Natuurlijk niet! Je moet er alleen voor zorgen dat je boot stormen van een bepaalde intensiteit kan doorstaan. Hetzelfde geldt voor de beurs, voor een economisch systeem… Het begrijpen van de wereld is essentieel voor onze overleving. Zeker nu een storm of een crisis aan de ene kant van de planeet serieuze consequenties kan hebben voor de rest van de wereld.
Is iedereen zich daar ondertussen niet van bewust?
MANDELBROT: Onvoldoende, denk ik. Ik verschil bijvoorbeeld nog altijd van mening met de meeste beursanalisten. Zij beweren dat hele grote schokken zo zelden voorkomen dat ze niet echt belangrijk zijn. Ik zeg dat grote schokken, hoewel ze inderdaad zelden voorkomen, zó belangrijk zijn dat ze alles kunnen overschaduwen. Bekijk de evolutie van een aandeel, of van een prijs, over een periode van pakweg vijf jaar. U zult zien dat de meeste dagen volstrekt onbelangrijk zijn, en een stuk of twaalf dagen van grote betekenis. Mijn punt is: zelfs bij tamelijk stabiele fenomenen is het belang van de occasionele ónstabiliteit zeer groot.
Volgt de frequentie en intensiteit van terroristische aanslagen ook een fractaal patroon?
MANDELBROT: Op dat vlak ben ik een volslagen amateur. Bovendien praat ik niet graag over fenomenen waar te weinig exacte gegevens over bestaan. Economen hebben mij vaak bekritiseerd omdat ik bijvoorbeeld nooit de werkloosheidscijfers heb bestudeerd. Maar die cijfers zijn veel te onbetrouwbaar om mee te werken. Van beurskoersen en marktprijzen hebben we wel betrouwbare cijfers, vaak zelfs over erg lange periodes. Eén zaak is duidelijk: het bestaan van terrorisme wijst erop dat risico inherent is aan deze wereld. Wat je ook voorspelt, er kunnen plotseling dingen gebeuren die je voorspelling totaal waardeloos maken. Vlak voor ze stierf, zei mijn moeder vaak: laten we wachten tot de situatie wat stabieler wordt. Ik heb haar eens gevraagd: moeder, heb jij sinds 1914 ooit een stabiele situatie gekend?
U hebt de allereerste computers nog meegemaakt. Besefte u meteen de impact ervan?
MANDELBROT: Helemaal niet. Niemand kon in de jaren vijftig vermoeden dat de computer alomtegenwoordig zou worden. Ik was in die periode de laatste postdoctorale student van John von Neumann in Princeton. Ik kende de mensen in het computercentrum en ik was geïnteresseerd, maar ik verwachtte niet dat die machine zo belangrijk zou worden in mijn leven. In 1958 begon ik bij IBM te werken, waar we de computer gebruikten om sneller berekeningen te kunnen doen. Voor mij kwam de doorbraak eind jaren zestig. Toen besefte ik dat we de computer konden gebruiken voor retorische doeleinden, om mensen ergens van te overtuigen.
Hoezo?
MANDELBROT: Wetenschappers overtuigen elkaar met woorden of formules. Ik bevond mij echter in een eigenaardige situatie: de techniek die ik introduceerde, was compleet onbegrijpelijk voor wiskundigen, en de toepassingen ervan leken hen niet interessant. (lacht) Kortom, de ene helft snapte het niet en de andere helft vond het niet belangrijk. Tot ik plotseling inzag dat ik moest terugkeren naar mijn eerste grote liefde: de meetkunde. Toen ik mijn eerste artikel ter publicatie aanbood, begreep de hoofdredacteur niet eens waarover ik het had. Maar toen ik hem de beelden toonde, was hij met-een overtuigd. Het oog heeft een verbijsterende overtuigingskracht. Ironisch genoeg zegt de bijbel: in den beginne was het woord. Ik beweer: in den beginne was het beeld. Ik heb dan mijn eigen technieken voor computergrafiek gecreëerd. Niet bij IBM, want die waren daar aanvankelijk niet in geïnteresseerd, maar met een paar medewerkers die het meer voor de lol dan voor het geld deden.
Hoe verbijsterd was u zelf toen u de formule had ingevoerd en voor het eerst de inmiddels beroemde Mandelbrot-set op uw computer zag verschijnen?
MANDELBROT:(lacht) Jammer genoeg ken ik de precieze dag niet meer, maar het was in februari 1980. Ik dacht eerlijk gezegd dat het een hallucinatie was. De volgende dag probeerde ik het opnieuw en toen zag het beeld er al tamelijk vertrouwd uit. De derde dag leek het alsof het altijd al had bestaan. Wat mij aanvankelijk vooral verraste, is de buitengewone complexiteit ervan. En de duurzaamheid van dit soort meetkunde. De meeste ontdekkingen die verschillende aspecten van de werkelijkheid bestrijken, gaan doorgaans niet lang mee. Wetenschap is, net als dameskledij, sterk onderhevig aan modetrends. Maar de fractale meetkunde is gaandeweg alleen maar belangrijker geworden.
In welk domein wordt ze tegenwoordig vooral gebruikt?
MANDELBROT: Tot voor kort in de fysica, maar momenteel vooral in de financiële wereld, de bouwkunde en de chemische industrie. Er komen heel wat nieuwe praktische toepassingen aan: ingenieurs weten al dat fractale antennes efficiënter zijn dan gewone antennes, bijvoorbeeld. Er wordt ook gewerkt aan fractale geluidsmuren. De klassieke geluidsmuren zijn zogoed als plat en kaatsen het geluid terug. Fractale geluidsmuren zouden geluid kunnen omzetten in warmte, zodat het zich niet meer kan voortplanten. Zulke bruikbare toepassingen schenken mij veel voldoening.
U hebt ook veel over kunst en architectuur geschreven, soms bijzonder scherp en kritisch. Zo haalde u fel uit naar de Bauhaus-architecten. Wat is er mis met Bauhaus?
MANDELBROT:(lacht) Alles! Om te beginnen, hou ik niet van ideologieën, ik heb in mijn leven te vaak gezien hoe verleidelijk ideologieën kunnen zijn en hoe mensen zelfs bereid zijn om voor een ideologie te moorden. Het idee achter Bauhaus was dat alle architectuur slecht is. Architecten zoals Ludwig Mies van der Rohe wilden helemaal opnieuw beginnen en perfecte gebouwen neerzetten in de vorm van een kubus, want de kubus is zogezegd perfect. Maar dat slaat nergens op, de prachtigste gebouwen zijn altijd bijzonder complex geweest. Die ideologie was trouwens een slap excuus voor minderwaardige bouwkunst: gebouwen in de vorm van een kubus zijn gewoon veel goedkoper.
En de essentie is dat fractale gebouwen volgens u gewoon veel mooier zijn.
MANDELBROT: Ja, beter afgestemd op de menselijke psychologie. Vergelijk het Seagram-gebouw in New York eens met de Opera van Parijs. Het Seagram-gebouw is alleen van een bepaalde afstand mooi, als je de kubusvorm ziet. Als je dichterbij komt, valt er niets boeiends meer te zien. De architect, Mies van der Rohe, hield geen rekening met de menselijke schaal, zijn gebouwen zijn saai, het zijn dozen. De Parijse Opera daarentegen, is mooi op elke schaal: hoe dichter je komt, hoe meer details je ziet, tot en met de vormgeving van de deuren.
Om dezelfde reden houdt u van het werk van de Amerikaanse schilder Jackson Pollock.
MANDELBROT: Zijn werk heeft duidelijk een fractale structuur. Net als dat van de Vlaamse primitieven, bijvoorbeeld. Zij waren natuurlijk niet bewust bezig met meetkunde, ze leerden gewoon dat een schilderij niet overdreven veel details moet bevatten, maar wel boeiend moet zijn op elke schaal. Dat is een belangrijke les die mijn vader mij geleerd heeft, toen ik als jongen met hem het Louvre bezocht: hij maakte me opmerkzaam op de interessante details die je pas ziet als je dichter bij het schilderij komt. Het blijft mij verrassen hoe wijd verspreid fractalen zijn. Neem het werk De grote golf van de Japanse kunstenaar Hokusai: die man had een diep inzicht in de fundamentele structuur van de wereld en slaagde erin om die krachtig en eenvoudig weer te geven in zijn werk. Nog altijd krijg ik regelmatig post met foto’s: van Indiase tempels, Japanse kunst… De mensheid heeft altijd onbewust fractalen gebruikt.
Iets anders: u vergelijkt wetenschappers met atleten, en dat is geen compliment.
MANDELBROT: Nee. Lang geleden al viel het mij geweldig op dat de man die het wereldrecord op de mijl heeft niet tegelijk ook het wereldrecord op de 1500 meter heeft gelopen. Belachelijk! (lacht) Een mijl is 1609 meter. Dus de wereldkampioen op de 1500 meter is blijkbaar zo buiten adem dat hij die laatste 109 meter niet meer aankan, en de wereldkampioen op de mijl spaart zijn krachten voor die laatste 109 meter. Het zijn twee bijna identieke afstanden met een verschillende wereldkampioen, al zullen de echte groten vermoedelijk soms wél beide records op hun naam hebben. Wat ik bedoel, is dit: jonge mensen die talent hebben voor atletiek worden al héél vroeg in een bepaalde richting gestuurd. Hetzelfde gebeurt in de wetenschap. En dat is jammer, want de wetenschap heeft mavericks nodig.
Mensen die, zoals u, van de ene discipline naar de andere zwerven.
MANDELBROT: Precies. Maar de wetenschap moedigt dat niet aan. Iemand die goed is in verschillende disciplines, wordt zelfs niet opgemerkt, omdat hij niet uitblinkt in één bepaalde discipline. Iedereen is een groot expert in een klein domein.
Wordt wetenschap niet steeds aantrekkelijker voor jonge mensen?
MANDELBROT: Medische wetenschap wel, omdat het financieel erg veelbelovend is. Maar de meeste wetenschappen zijn dat niet: het is lang studeren zonder de belofte van een hoog inkomen. Ik ben geboren in Polen, mijn ouders waren gevlucht uit Litouwen, waar de mensen aan het begin van de vorige eeuw echt wanhopig waren. Die rusteloosheid heb ik mijn hele leven meegedragen. Het valt mij trouwens altijd op dat wetenschappers meestal van heel rijke of van heel arme afkomst zijn. (lacht) Het helpt blijkbaar als je veel geld hebt óf veel honger.
Door Joël De Ceulaer
