Hoe de ‘wachtlijntheorie’ ons van files en wachtrijen kan verlossen

© Lies Willaert
Dirk Draulans
Dirk Draulans Bioloog en redacteur bij Knack.

Wat hebben de files en de wachtrijen in supermarkten, pretparken en op festivals met elkaar gemeen? Je kunt ze allemaal aanpakken met wiskundige modellen. Wouter Rogiest en Kurt Van Hautegem, jonge bollebozen van de Universiteit Gent, weten er alles van.

Laat vrouwen ook het openbare herentoilet gebruiken, en ze hoeven hun beurt minder lang af te wachten: dat kun je met je klompen aanvoelen. Maar hoe kun je de verdeling tussen dames- en herentoiletten zo organiseren dat de wachttijden voor iedereen zo kort mogelijk blijven? Daarvoor heb je hogere wiskunde nodig. Die wiskunde vindt haar oorsprong in het begin van de twintigste eeuw. De telefonie begon toen aan haar opmars, en ingenieurs braken zich het hoofd over de vraag hoeveel lijnen ze in een regio moesten aanleggen zonder dat mensen eindeloos op een verbinding hoefden te wachten.

Die wiskunde wordt vandaag nog altijd gebezigd, bijvoorbeeld om het internetgebruik te stroomlijnen. ‘Op het internet gaat het tenslotte ook om verbindingen tussen verschillende partijen’, zegt ingenieur Wouter Rogiest van de Universiteit Gent. Net zoals zijn collega Kurt Van Hautegem past hij de zogenoemde wachtlijntheorie, een wiskundige theorie die ook de wachttijd van klanten in een wachtrij voorspelt, toe op de digitale informatiestroom. ‘Op internetlijnen heb je een wirwar van pakketjes informatie die door schakelaars moeten. Daar moeten ze soms wachten alvorens in de juiste richting gestuurd te worden. Die schakelaars optimaliseren, en zo de wachttijd verminderen: dat is de basis van ons academische werk.’

Als meer dan de helft van de pretparkbezoekers een Speedy Pass heeft, raken de anderen zelfs niet meer op een attractie

Kurt Van Hautegem

Kan de snelheid van het internet nog verhoogd worden?

Wouter Rogiest: In principe is er maar één beperking: niets kan sneller dan het licht, ook het internet niet. Er is dus nog ruimte voor verbetering. Een kabel dwars door de aarde trekken is daarom niet eens zo’n gek idee: op die manier zou je bijvoorbeeld Europa en Australië sneller met elkaar kunnen verbinden.

Hoe groot is de tijdwinst dan? Enkele seconden?

Rogiest: Nee hoor, het gaat over 50 tot 100 milliseconden. Voor geautomatiseerde beleggingssystemen maakt dat al een verschil. Daarom is het vastgoed rond Wall Street in New York ook zo duur: beleggingsmaatschappijen willen zo dicht mogelijk bij de beurs liggen, omdat een fractie van een seconde het verschil tussen winst en verlies kan betekenen.

U bestudeert net zo gemakkelijk het internet als files of openbare toiletten: tussen al die onderwerpen ligt toch een wereld van verschil?

Kurt Van Hautegem: Wij hebben de reflex om álles wiskundig te bekijken. We willen duidelijk maken dat wiskunde tof en toepasbaar is, zonder in ijle en foute redeneringen als ‘Heel de wereld is wiskunde!’ te vervallen. Hoe alledaags het ook is, het verkeer is een typisch voorbeeld van een knettergek systeem dat zonder wiskunde moeilijk te analyseren is.

Rogiest: Ook de wiskunde achter de wachtrijen voor een toilet is niet eenvoudiger dan die achter ons werk rond het internet. Intuïtief weet je natuurlijk wel: als je evenveel herentoiletten als damestoiletten hebt, zullen de vrouwen langer moeten wachten. Maar niemand weet hoeveel langer: dat moet je berekenen. Terwijl een vrouw in die situatie gemiddeld 6 minuten moet wachten, zo concludeerden we, wacht een man 11 seconden. Niemand had zo’n ‘van de pot gerukt’ verschil verwacht. Ook om de optimale verdeling tussen heren- en damestoiletten te berekenen, heb je wiskunde nodig.

Hoe kun je de wachttijd voor vrouwen dan verminderen?

Rogiest: Als je moet vasthouden aan gescheiden toiletten voor mannen en vrouwen, moet je in iets meer damestoiletten voorzien. Twee of drie toiletten extra kunnen een wereld van verschil maken. Laat je mannen en vrouwen dezelfde toiletten gebruiken, dan moet je een goede verhouding tussen urinoirs en toilethokjes hebben. Op de muziekfestivals Rock Werchter en Best Kept Secret had je gemengde toiletten, maar verhoudingsgewijs te veel urinoirs. Onze modellen zeggen dat je per urinoir twee hokjes moet hebben om de wachttijd voor iedereen minimaal te houden. Benieuwd hoe Pukkelpop het dit jaar aanpakt.

In een gendergelijk systeem zou je de urinoirs afschaffen.

Van Hautegem: Dat kan, maar dan zal iedereen iets langer moeten wachten, omdat bij urinoirs de gebruikstijd kleiner is. De Vlaamse overheid gaat dat systeem wel invoeren voor de bezoekerstoiletten in haar openbare gebouwen, om aan transgenders tegemoet te komen. Iedereen moet dan een hokje in waarop alleen nog het label ‘WC’ hangt.

Kurt Van Hautegem

– Geboren in 1988

– Studie burgerlijk ingenieur (UGent, 2012)

– Sinds 2012doctoraatsstudent in de vakgroep Telecommunicatie & Informatieverwerking (UGent)

Nog een openbare plaats waar u de wachtrijen hebt bestudeerd, is Brussels Airport.

Rogiest: Ja, met name de wachtrijen bij de veiligheidscontrole. Het was moeilijk werk, dat doorkruist werd door de aanslagen van 22 maart 2016. Details kan ik niet prijsgeven – we zijn door een vertrouwelijkheidsclausule gebonden – maar we hebben het aanbod van de veiligheidsdiensten optimaal afgestemd op de vraag van de luchthaven. Er zijn nu altijd voldoende agenten beschikbaar, in verhouding met het aantal passagiers.

Van Hautegem: Een ander voorbeeld is het pretpark Walibi. Dat wilde het effect kennen van de Speedy Pass, die recht geeft op een snellere wachtrij aan een attractie, op de wachttijden van mensen zonder zo’n pas. Als 50 procent van de bezoekers een Speedy Pass heeft, zo berekenden we, verdubbelt de wachttijd van de andere bezoekers. Maar het is een zogenoemd niet-lineair systeem: heeft 55 procent een Speedy Pass, dan raken de anderen zelfs niet meer op de attracties. Pretparken hebben er daarom alle belang bij om het aantal passen te beperken.

Een niet-lineair systeem is een systeem waarin een klein verschil ineens grote gevolgen kan hebben.

Rogiest: Inderdaad. Er komt dan een knik in de wiskundige curve. We kunnen die knik ook zelf vastleggen, bijvoorbeeld door te zeggen: ‘Je mag nooit langer dan tien minuten op een terrastafeltje wachten.’ Zo hebben we ontdekt: de gemiddelde wachttijd is het kleinst als een caféuitbater per drie rijen van tafels voor twee klanten, twee rijen van tafels voor vier klanten zet.

Is dat in de praktijk getest?

Rogiest:(lacht) Ik heb enkele caféuitbaters op de Graslei in Gent aangesproken, en sommigen zouden het doen, maar de echte proef op de som moet nog genomen worden. Wil je tot sluitende conclusies komen, dan moet je steekproef wel groot genoeg zijn: een student voor zijn masterproef 50 caféterrassen laten monitoren, zou niet volstaan. Misschien zou het lukken door samen te werken met ketens als McDonalds of Ikea.

Een klassieker zijn de wachtrijen aan de kassa in de supermarkt: daar lijk je telkens weer in de traagst vorderende rij te staan.

Van Hautegem: Die indruk krijg je omdat je, alles samen, meer tijd doorbrengt in trage rijen. Daardoor heb je ook meer tijd om herinneringen daaraan op te slaan, terwijl je de keren dat je meteen aan de beurt bent even snel weer vergeet. Hetzelfde fenomeen heb je bij het wachten op de bus: alleen de lange wachttijden blijven bij.

Wouter Rogiest

– Geboren in 1980

– Studie burgerlijk ingenieur (UGent, 2004), doctor in de ingenieurswetenschappen (UGent, 2008)

2015 krijgt de jaarlijkse ‘onderscheiding wetenschapscommunicatie’ van de Koninklijke Vlaamse Academie van België, wordt lid van de adviesraad van het wetenschappelijke tijdschrift Eos

– Sinds 2016 hoogleraar aan de UGent, patentadviseur bij Brantsandpatents

De psychologie van het wachten is een verhaal apart. Er is geëxperimenteerd, onder meer in de Colruyt van Zottegem, met één wachtrij voor de kassa’s – zoals bij de check-in op luchthavens. In principe zou dat psychologisch minder zwaar moeten zijn, omdat iedereen via hetzelfde hekje moet. Toch moest Colruyt zijn experiment na enkele maanden stopzetten: de klanten waren ontevreden. Verschillende factoren speelden mee. In die ene rij konden ze bijvoorbeeld moeilijk met de grote winkelkarren manoeuvreren. Er was ook wrevel omdat sommige klanten bij een bepaalde caissière even over de kleinkinderen wilden babbelen: opeens droeg iederéén daar de gevolgen van. En er was geen sprake meer van het ‘hete adem in de nek’-effect: als je voelt dat iemand vlak achter je staat, treuzel je minder – met één wachtrij is dat effect kleiner dan met vijf, zes wachtrijen. En zo kunnen tal van psychologische effecten een wiskundig model, hoe doordacht het ook is, verpesten.

U hebt uw wiskundige modellen ook losgelaten op de chaos voor de tapkasten op muziekfestivals.

Rogiest: En we moesten besluiten dat die chaos resulteert in 6 procent kortere wachttijden vergeleken met de situatie waarin iedereen, in een rij, beleefd zijn beurt afwacht. De klant voelt het niet, maar dat chaotische ‘systeem’ is efficiënt: het ‘hete adem in de nek’-effect speelt opnieuw mee, maar het kan ook dat minder assertieve mensen extreem lang moeten wachten, waardoor anderen sneller aan bod komen. Wij spreken in zo’n geval van ‘verhoogde variantie’: in een chaotisch systeem is de kans groter dat iemand extreem lang of net extreem kort moet wachten.

In het verkeer wordt er evenmin altijd beleefd gereageerd. U noemde het daarnet een ‘knettergek systeem’.

Van Hautegem: Wordt er vanaf een bepaalde drukte gemiddeld iets te snel gereden, dan krijg je weer zo’n niet-lineair effect: ineens ontstaan er golven van vertraagd verkeer. Zelfs zonder ongeval kunnen die tot files leiden. Bij blokrijden – gegroepeerd rijden met een constante lagere snelheid – stroomt het verkeer in principe minder sterk door, en tóch is het sneller, doordat het die chaotische golven voorkomt.

De menselijke anatomie is niet goed ingespeeld op hogere snelheden: dat is een belangrijke factor in het verkeer.

Rogiest: Een mens heeft een minimale reactietijd van 100 milliseconden. We kunnen niet sneller. Bovendien worden we in het verkeer vaak afgeleid door medepassagiers, telefoon of radio. Daarom zijn er concrete plannen om vrachtwagens in colonne én elektronisch bestuurd te laten rijden. Een elektronische bestuurder heeft geen last van die trage reactietijd: zo win je tientallen meters aan remafstand bij hogere snelheden, waardoor je vrachtwagens dichter bij elkaar kunt laten rijden. En daarmee verhoog je de capaciteit van de weg.

Wouter Rogiest en Kurt Van Hautegem
Wouter Rogiest en Kurt Van Hautegem© Lies Willaert

Volgens uw berekeningen is ritsen ook efficiënter dan vroeg invoegen in een file.

Van Hautegem: Ja, onder meer omdat je met ritsen de rijen in een file even lang kunt maken, waardoor ze compacter wordt. Daarenboven voegt een ritsende bestuurder in achter iemand die net snelheid begint te maken, omdat hij de flessenhals voor de file bereikt heeft: dat kleine effect maakt een groot verschil. Mensen die te vroeg willen invoegen, veroorzaken extra vertragingen.

Te beleefd willen zijn is contraproductief in een file?

Van Hautegem: De wetgever voorziet zelfs in een boete voor wie te vroeg invoegt. Is zo’n boete ook al eens uitgeschreven? Dat weten we niet.

Zelfs op de politiek past u, ten slotte, wiskunde toe: hoe kleiner de kieskringen, hoe voordeliger voor de grootste partij.

Rogiest: Dat klopt, en is een gevolg van ons kiessysteem. Als je van elk gehucht een aparte kieskring zou maken, zou de grootste partij veruit de meeste zetels halen. Toen bij de zesde staatshervorming beslist werd om de Vlaamse kieskring voor de Senaat af te schaffen en alleen nog per provincie voor de Kamer te laten stemmen, was dat in het nadeel van kleinere partijen. Ik heb weet van een blauwe excellentie die zijn kabinet daarop heeft laten berekenen – met onze methodes – hoeveel zetels zijn partij daardoor verloren had, waarna hij bij de onderhandelingen een extra zetel uit de brand kon slepen.

En het omgekeerde geldt natuurlijk ook: als er ooit weer een Vlaamse kieskring komt, zal dat in het voordeel van de kleinere partijen zijn. Bij dezen weten de grote partijen waaraan ze beginnen als ze daarmee instemmen. (lacht)

Fout opgemerkt of meer nieuws? Meld het hier

Partner Content